Lecture 6 — המשך רדוקציות

Transcription

Select a line to highlight it on the page

1. שיעור 6
2. * סגירות לרדוקציות
3. * דוגמאות לרדוקציות
4. * קושי ושלמות ב-NP
5. * תכונות של שפות קשות / שלמות
6. טענה: P סגורה בזמן לרדוקציות בזמן פולינומי. ⟵ צ"ל: לכל A,B אם B∈P וכן A ≤_p B אז A∈P .
7. [תיבה] אם היינו אתחילים בזה ש-B∈NP , הרדוקציה בזמן היתר אשתנה, כי רדוקציה תאייד לזמן פולינומי. המכונה שהייתה אי-דטרמיניסטית M_B , והרצת M_B באתאאונה M_A אם צאל אי-דטרמיניסטי.
8. הוכחה: תהאונה A,B שפות.
9. נניח: B∈P , A ≤_p B .
10. B∈P , לכן קיימת מכונה M_B כך, שקיימים c,d > 0 כך ש-M_B מכריעה את B ולכל x∈Σ^* : time_{M_B}(x) ≤ c·|x|^d
11. לכן, A ≤_p B , לכן קיימת מכונה M_AB כך שקיימים α,β>0 כך שלכל x∈Σ^* : x∈A אם"ם M_AB(x)∈B
12. וכן לכל x∈Σ^* time_{M_AB}(x) ≤ α·|x|^β
13. נגדיר מכונה M_A באופן הבא: על קלט x - 1. M_A תחשב את M_AB על x .
14. 2. M_A תריץ את M_B על M_AB(x) ותחזיר את אותו פלט.
15. נוכיח M_A מכריעה את A - יהי x∈Σ^* .
16. נניח x∈A : אז M_AB(x)∈B ולכן M_B מקבלת את M_AB(x) . ולכן M_A מקבלת את x .
17. נניח x∉A : אז M_AB(x)∉B ולכן M_B דוחה את M_AB(x) . ולכן M_A דוחה את x .
18. מכאן, M_A מכריעה את A .
19. נתבונן ב- μ = α + c·α^d , δ = βd + β
20. יהי x∈Σ^* . אז בהרצת M_A על x , השלב הראשון דורש לכל היותר α|x|^β צעדים.
21. השלב השני דורש לכל היותר c·|M_AB(x)|^d צעדים.
22. בנוסף, |M_AB(x)| ≤ space_{M_AB}(x) ≤ time_{M_AB}(x) ≤ α|x|^β
23. סה"כ: time_{M_A}(x) ≤ α|x|^β + c·(α|x|^β)^d ≤ α|x|^β + c·α^d·|x|^{βd} ≤ (α + c·α^d)·|x|^{βd+β} = μ|x|^δ (פולינום!)
24. לכן, A∈P .