Lecture 13 — המשך בעיות NP קשות

Transcription

Select a line to highlight it on the page

1. שיעור 13
2. Partition: קלט: סדרת a_1,...,a_n של מספרים בייצוג עשרוני.
3. שאלה: האם קיימת תת-קבוצה I ⊆ [n] עבורה: Σ_{i∈I} a_i = 1/2 Σ_{i∈[n]} a_i
4. טענה: Partition הוא NP-קשה.
5. הוכחה: נראה Subset-Sum ≤_p Partition.
6. [הערה] אינטואיציה:
7. [הערה] אם יש פה תת קבוצה של S, וכל הסכום 2S,
8. [הערה] אז הקבוצה השניה היא גם S.
9. נתבונן במכונה הבאה: על קלט a_1,...,a_n,S : 1. אם Σ_{i∈[n]} a_i = 2S החזר a_1,...,a_n.
10. 2. אם Σ_{i∈[n]} a_i > 2S החזר a_1,...,a_n, Σ_{i∈[n]} a_i-2S
11. 3. אם Σ_{i∈[n]} a_i < 2S החזר a_1,...,a_n, 2S-Σ_{i∈[n]} a_i
12. [לא ברור]: ניתוח זמן ריצה.
13. נכונות הרדוקציה: יהיו a_1,...,a_n,S .
14. נניח: (a_1,...,a_n,S) ∈ Subset-Sum : אזי קיימת I⊆[n] כך ש- S = Σ_{i∈I} a_i . נפרק ל-3 מקרים:
15. מקרה 1: נניח Σ_{i∈[n]} a_i > 2S . אזי: פלט הרדוקציה הוא a_1,...,a_n, Σ_{i∈[n]} a_i-2S
16. נסמן את הסדרה b_1,...,b_n,b_{n+1} ומתקיים: Σ_{i∈[n+1]} b_i = Σ_{i∈[n]} a_i + Σ_{i∈[n]} a_i - 2S = 2(Σ_{i∈[n]} a_i - S)
17. נגדיר I' = I∪{n+1} . Σ_{i∈I'} b_i = Σ_{i∈I} a_i + b_{n+1} = S + Σ_{i∈[n]} a_i - 2S = Σ_{i∈[n]} a_i - S = 1/2 Σ_{i∈[n+1]} b_i
18. מקרה 2 ו-3 [לא ברור].
19. נניח: פלט הרדוקציה שייך ל-Partition: מקרה 1: Σ_{i∈[n]} a_i > 2S . פלט הרדוקציה הוא a_1,...,a_n, Σ_{i∈[n]} a_i-2S .
20. נסמן כמו קודם b_1,...,b_n,b_{n+1} .
21. קיימת תת קבוצה I⊆[n+1] כך ש- Σ_{i∈I} b_i = Σ_{i∈[n]} a_i - S
22. ללא הגבלת הכלליות: n+1∈I . אחרת נעבוד עם Ī .
23. Σ_{i∈[n]} a_i - S = Σ_{i∈I} b_i = Σ_{i∈I\{n+1}} b_i + b_{n+1} = Σ_{i∈I\{n+1}} a_i + Σ_{i∈[n]} a_i - 2S
24. לכן: Σ_{i∈[n]} a_i - S = Σ_{i∈I\{n+1}} a_i + Σ_{i∈[n]} a_i - 2S נסדר ונקבל: Σ_{i∈I\{n+1}} a_i = S
25. I\{n+1} ⊆ [n] . ולכן (a_1,...,a_n,S)∈Subset-Sum
26. מקרה 2 ו-3 [לא ברור].