Lecture 18 — המשך אלגוריתמים אקראיים

Transcription

Select a line to highlight it on the page

1. שיעור 18
2. בעיה: וידוא כפל מטריצות: נתון: נתונות מטריצות A,B,C ∈ IR^{n×n}
3. שאלה: האם A·B = C ?
4. אלגוריתם: על קלט - A,B,C ∈ IR^{n×n}
5. 1. נגריל באופן אחיד [לא ברור] r∈{0,1}^n.
6. [הערה] (קורא n ביטים)
7. 2. נחשב C·r , (AB)·r
8. 3. אם C·r = (AB)·r , נקבל.
9. אחרת, נדחה.
10. מה כאן [לא ברור] של האלגוריתם? (AB)r = A(Br) - לכן - O(n^2)
11. אם AB = C : לכל r, (AB)r = Cr לכן Pr_{r∈{0,1}^n}[האלגוריתם צודק] = 1
12. אם AB ≠ C : נסמן D = AB - C אזי D ≠ 0.
13. לכן קיימת קואורדינטה ב-D שאיננה 0.
14. ללא הפסדת הכלליות, נניח D_{1,1} ≠ 0.
15. [הערה] הוא יענה כן כשצריך לא
16. Pr_{r∈{0,1}^n}[האלגוריתם טועה] = Pr[ABr = Cr] = Pr[Dr = 0] ≤ Pr[(Dr)_1 = 0] = Pr[Σ_{j=1}^{n} D_{1j}r_j = 0] = Pr[D_{1,1}r_1 = -Σ_{j=2}^{n} D_{1j}r_j] = Pr[r_1 = (-Σ_{j=2}^{n} D_{1j}r_j)/(D_{1,1})] ≤ 1/2
17. [הערה] הכלה בין מאורעות
18. [הערה] ההגדרה של כפל מטריצות
19. [הערה] שונה מ-0
20. [הערה] אקראי שמתפלג אחיד
21. [הערה] מס' קבוע
22. [הערה אדומה] (עקרון הבחירה נדחית)
23. לכן Pr[האלגוריתם צודק] ≥ 1/2
24. אלגוריתמים מהסוג הזה נקראים אלגוריתמים עם טעות חד-צדדית.