שיעור 2 — משפט ההיררכיה במקום

תמלול

בחרו שורה כדי לסמן אותה בעמוד

1. שיעור 2
2. * PSPACE ⊆ EXP
3. * משפט ההיררכיה במקום
4. * דיאגונליזציה
5. טענה: תהאנה F,g: IN→IN. נניח כי: 1) g = O(f)
6. 2) לכל n∈IN, אם f(n)=0 אז g(n)=0.
7. אז קיים c>0 כך שלכל n∈IN , g(n) ≤ c·f(n).
8. הוכחה: g = O(f) לכן קיים d>0 כך שקיים n_0∈IN כך שלכל n ≥ n_0 , g(n) ≤ d·f(n).
9. נסמן: X = {n∈IN | f(n) ≠ 0 ∧ n ≤ n_0}
10. X סופית וכן שלכל n∈X , f(n) ≠ 0, לכן, אפשר להגדיר α = max_{n∈X} g(n)/f(n).
11. נסמן: C = max{α,d}. נתבונן ב-c.
12. 0<d , 0<α≤c לכן c ≥ d > 0.
13. יהי n∈IN.
14. מקרה 1: נניח n ≥ n_0 . אז: g(n) ≤ d·f(n) ≤ C·f(n)
15. מקרה 2: נניח n < n_0 . 2.1 מקרה: f(n) = 0 — אז g(n)=0 לפי ההנחה השנייה. לכן g(n) ≤ c·f(n).
16. מקרה 2.2: אז n∈X . לכן g(n)/f(n) ≤ α ≤ c כלומר g(n) ≤ c·f(n).