שיעור 9 — המשך בעיות צביעה וכיסוי קודקודים

תמלול

בחרו שורה כדי לסמן אותה בעמוד

1. שיעור 9
2. טענה: השפה 3-Col היא NP-קשה.
3. הוכחה: נראה כי 3NAE ≤_p 3-Col
4. לכל φ נוסחה בוליאנית באורת 3CNF אעל האשתנים x_1,x_2,...,x_n
5. הרדוקציה תחזיר גרף G_φ שאוגדר כדלהלן:
6. • הגרף כולל 2n קודקודים שאייצגים את 2n הליטרלים x_1,x̄_1,x_2,x̄_2,...,x_n,x̄_n
7. • קודקוד הליטרלים אחוברים לקודקוד נוסף ω .
8. • כל קודקוד שאייצג אשתנה אחובר בקשת לקודקוד שאייצג את שלילתו.
9. • לכל הסבר φ נוסיף לגרף אשולש שאקודקודיו חוברו לשלושת קודקודי הליטרלים שבו.
10. [דוגמה אדומה] דוגמה להסבר שאווסיף בנוסחה: (x̄_1 ∨ x_3 ∨ x̄_n) — נבנה אשולש חדש ונחבר אותו לקודקודים האתהסיאם
11. באן ריבה: באן הריבה הדרוש לבניית הגרף פולינומיאלי באספר האשתנים והתסברים של נוסחת הקלט φ ולכן גם בגודל הקלט.
12. נובעות: φ ספיקה באופן NAE ⟷ G_φ 3-צביע
13. ⟸ נניח כי φ ספיקה באופן NAE . אז קיימת השמה למשתני φ שאתקבלת בכל הסבר יש לפחות שלכרו T ולפחות שלילו F .
14. נגדיר צביעה שם הגרף: - ω יצבע בצבע 1 .
15. - קודקוד שאתאימים לליטרלים שלכרו "T" יצבע בצבע 2
16. - קודקוד שאתאימים לליטרלים שלכרו "F" יצבע בצבע 3
17. - כל הסבר אסיפק באופן NAE , ולכן האשולש שלו אחובר לקודקוד שצבוע 2 ולקודקוד שצבוע 3 .
18. - נצבע בצבע 3 קודקוד שאחובר לקודקוד שצביעו שצבוע 2 ,
19. נצבע בצבע 2 קודקוד שאחובר לקודקוד שצביעו שצבוע 3 ,
20. ונצבע בצבע 1 את הקודקוד הנותר.
21. קיבלנו צביעה חוקית של G_φ ב-3 צבעים, ולכן הוא 3-צביע.
22. [דוגמה] x_1=T , x_2=F , ..., x_n=F ( x̄_1 ∨ x_2 ∨ x̄_n )