שיעור 19 — מציאת חתך מינימלי, השיטה ההסתברותית

תמלול

בחרו שורה כדי לסמן אותה בעמוד

1. שיעור 19
2. טענה: לכל פולינום p, RP = BPP(0, 1/p(n))
3. RP = BPP(0, 1 - 1/2^{p(n)}) הוכחנו.
4. טענה: BPP = BPP(1/p(n), 1 - 1/2^{p(n)}) לכל פולינום p. לא נוכיח.
5. יחס בין המחלקות:
6. [דיאגרמה] BPP(0,1/2) מעל RP, BPP(0,1) ליד P, BPP(1/2,1) מתחת coRP; P → RP, P → coRP, RP → BPP, coRP → BPP, RP → NP, coRP → coNP, BPP → Σ_2, NP → Σ_2, coNP → Σ_2
7. אלגוריתם חתך מינימלי בגרף:
8. הגדרת הבעיה - קלט: גרף לא מכוון G = (V,E)
9. מטרה: למצוא קבוצה S ⊆ V שגודל מס' הקשתות בחתך (S,S̄) קטן ביותר.
10. הבחנה: יהי G = (V,E) גרף.
11. נסמן ב-K את הגודל של חתך מינימלי.
12. 1. לכל קודקוד v∈V, deg_G(v) ≥ K [הערה] יש חתך בגודל deg_G(v), והוא גדול שווה מהמינימלי.
13. 2. |E| ≥ (k⋅|V|)/2 הוכחה: 2|E| = Σ_{v∈V} deg_G(v) ≥ k⋅|V|
14. רעיון לאלגוריתם: פעולה בסיסית - כיווץ של קשת בגרף.
15. דוגמה: [דיאגרמה] גרף על הקודקודים 1,2,3,4,5 — נכווץ את (4,5) — הגרף המתקבל עם הקודקוד 4,5
16. [הערה אדומה] הקשת לא בחתך הבחנות: יהי G = (V,E) גרף. עבור S⊆V, כאשר מכווצים קשת ששני קודקודיה ב-S או ששני קודקודיה ב-S̄, גודל החתך אינו משתנה.