שיעור 26 — תרגילים

תמלול

בחרו שורה כדי לסמן אותה בעמוד

1. שיעור 26
2. תרגיל 2 שאלה 1 -
3. 1. בפברואר 2025, פירסם ריאן ויליאמס מאוניברסיטת MIT תוצאה פורצת דרך לפיה לכל פונקציה
4. f: ℕ→ℕ המקיימת n ≤ f(n) לכל n, מתקיים DTime(f) ⊆ DSpace(√(f ⋅ log_2 f)).
5. (א) השתמשו בתוצאה שלעיל על מנת להוכיח כי DTime(2^n) ⊊ DSpace(2^{0.51n}).
6. לפי הנתון, כיוון ש- 2^n ≥ n לכל n∈IN, DTime(2^n) ⊆ DSpace(√(2^n log 2^n)) = DSpace(2^{n/2}⋅√n)
7. √n = o(2^{0.01n}) כמו כן, 2^{0.01n} סופר-לינארית וישימה במקום. לכן DSpace(2^{n/2}⋅√n) ⊂ DSpace(2^{0.51n}) לפי משפט ההיררכיה במקום.
8. מכאן, DTime(2^n) ⊂ (2^{0.51n})
9. (ב) התוצאה שלעיל מעלה את השאלה האם ניתן לשפר את ה"שורש" שמופיע בפונקציית המקום לחזקה
10. P ⊆ PSPACE
11. קטנה כרצוננו, כלומר האם לכל קבוע 0 < ε ולכל פונקציה f: ℕ→ℕ המקיימת n ≤ f(n) לכל
12. n, מתקיים DTime(f) ⊆ DSpace(f^ε). הוכיחו כי אם טענה זו אכן מתקיימת אז P ≠ PSPACE.
13. צ"ל: P ⊂ PSPACE
14. יהי c ≥ 1.
15. נבחר ε = 1/c.
16. n^c סופר-לינארית, לכן DTime(n^c) ⊆ DSpace((n^c)^ε) = DSpace(n)
17. לכן P = ⋃_{c≥1} DTime(n^c) ⊆ DSpace(n)
18. n = O(n^2), n^2 סופר-לינארית וישימה במקום, לכן DSpace(n) ⊂ DSpace(n^2)
19. DSpace(n^2) ⊆ PSPACE
20. לכן, P ⊂ PSPACE.