Lecture 8 — בעית החתך המרבי ובעיות צביעה

Transcription

Select a line to highlight it on the page

1. שיעור 8
2. סיכום הוכחת משפט Cook-Levin :
3. 1) לכל B∈NP , B ≤_p TAZ : עבור B∈NP קיימים M_B ופולינומים p,q כך שלכל x∈Σ^* , x∈B ⟷ קיים ω∈{0,1}^{p(|x|)} עבורו T = M_B(x,ω)
4. וכן time_{M_B}(x) ≤ q(|x|)
5. טעון להתוות כי היאת רדוקציה בזמן פולינומי עובר בהינתן קלט x אחשבת נוסחה בוליאנית φ_x באורת CNF האקיימת: x∈B ⟷ φ_x ספיקה
6. ניתן לתאור ריצה של המכונה M_B עם קלט (x,ω) , ע"י טבלה שאורותיה איצגות את קונפיגורציות הריצה.
7. הנוסחה φ_x נוצרת על אוסף משתנים שאייצגים את תוכן הטבלה, והסבריה אבטאים את תנאי ההתחלה, המעבר והסיום.
8. * נובעות: x∈B ⟷ קיים ω∈{0,1}^{p(|x|)} עבורו T = M_B(x,ω)
9. ⟷ ניתן לאלא את הטבלה באופן שאתאור ריצה תקינה של M_B עם קלט x (תנאי ההתחלה, המעבר והסיום)
10. * באנרכה: אס' התאים בטבלה הוא O(q(|x|)^2) , ולכל אחד נדרש אספר הסברים שאסופים O(1) ולכן ניתן לייצר את הנוסחה בזמן פול' בגודל
11. הקלט x .
12. תרגיל: הוכיחו כי השפה 3SAT היא NP-שלמה.
13. הוכחה: - כעבור השפות TAZ ו-3SAT שקולות פולינומיאלית (3SAT ≤_p SAT ∧ SAT ≤_p 3SAT)
14. - ממשפט cook-levin , השפה TAZ היא NP-קשה.
15. - לכן לכל B∈NP מתקיים: B ≤_p SAT ≤_p 3SAT ≤_p B .
16. - מטרנזיטיביות, נתקבל כי לכל B∈NP מתקיים B ≤_p 3SAT ולכן השפה TAZ היא NP-קשה.
17. - מכיוון שהאתחלה NP סגורה לרדוקציות בזמן פול' נובע כי 3SAT∈NP .
18. - לסכם, TAZ היא NP-שלמה.
19. השפה 3NAE : 3NAE = {φ | φ נוסחה בוליאנית באורת 3CNF ספיקה באופן NAE}
20. נוסחה בוליאנית באורת CNF היא ספיקה באופן NAE (Not all equal) אם קיימת השמה שאתקבלת בכל הסבר יש לפחות שלכרו True ולפחות שלכרו False
21. 1) TAZ ⊆ 3NAE נכון! נוסחה שספיקה באופן NAE , שוואת השמה אספקת את הנוסחה היא באופן הרגיל, כי יש שם בכל T גם ספיקה.
22. 2) 3NAE ⊆ TAZ לא נכון! נוסחה שספיקה באופן NAE היא לא בהכרח ספיקה באופן NAE (כדל להיות שבה ההשמות שאספקות שוואות תו״י היה הסבר שהיא סו זדד)