Lecture 17 — המשך טיעונים יחסיים, אלגוריתמים אקראיים

Transcription

Select a line to highlight it on the page

1. שיעור 17
2. סימונים יחסיים:
3. טענה: קיימת שפה A עבורה P^A ≠ NP^A.
4. תזכורת: עבור שפה B, U_B = {0^n | קיים x∈B כך ש- |x| = n}. U_B ∈ NP^B.
5. הוכחה: נבנה שפה B מעל {0,1}, עבורה U_B ∉ P^B.
6. תהיו M_1,M_2,.... מנייה של כל מכונות הטיורינג הדטרמיניסטיות מעל {0,1} עם גישת אורקל.
7. [הערה] נרצה להראות שכל מכונה לא מכריעה את U_B
8. [הערה] בזמן פולינומי. עם גישת אורקל ל-B.
9. נתחיל עם B = ∅.
10. [הערה] נצטרך להרוס את כולם.
11. עבור i = 1,2,... :
12. אם קיים n כך ש- M_i רצה על 0^n יותר מ- (2^n)/10 צעדים אזי M_i אינה מכונת הכרעה בזמן פולינומי; ולכן אפשר לעבור לשלב ה-i הבא.
13. אחרת, נתקדם ל-n שעבורו M_i רצה על 0^n ולכן טיפלנו בו צריך פחות מ- (2^n)/10 צעדים.
14. [הערה] כל שלב סופי, ולכן יש n כזה
15. [הערה אדומה] שאלות
16. אם M_i שואלת את האורקל של B על מחרוזת שכבר קבענו את השייכות או האי-שייכות שלה ל-B, האורקל יתן את התשובה שקבענו.
17. [הערה אדומה] במהלך
18. [הערה אדומה] הריצה
19. אחרת, נגדיר שהמחרוזת אינה ב-B.
20. [הערה אדומה] לאורקל
21. [הערה] בכל איטרציה i, קובעים את האורקל של חלק
22. אם M_i הפסיקה את 0^n - נצהיר שכל המחרוזות באורך n אינן שייכות ל-B.
23. [הערה] מחרוזות מעל {0,1}. אלה שאנו שואלים עליהם עם האורקל
24. [הערה] יש לציין, כי אם היא היתה שואלת על כל מחרוזת
25. [הערה] [לא ברור] [לא ברור] באיטרציות קודמות - לא יהיו ב-B בסוף.
26. [הערה] אפשרית, היתה רצה לפחות 2^n צעדים, והוא [לא ברור] (2^n)/10.
27. [הערה] [לא ברור] התשובה של M_i אינה תלויה אם לשים או לא מחרוזות ל-B.
28. אחרת, נמצא מחרוזת באורך n ש- M_i לא שאלה עליה, ונכניס אותה ל-B.
29. בנינו שפת B עבורה אף אחת מהמכונות M_1,M_2,... אינה מכריעה את U_B בזמן פולינומי. לכן, U_B ∉ P^B
30. מתקיים, U_B ∈ NP^B. ולכן, P^B ≠ NP^B.
31. טענה: NP ⊆ P^SAT
32. הוכחה: תהא A∈NP. (A ≤_p SAT)
33. [הערה] המכונה שמחשבת את הרדוקציה
34. אז קיימת מכונה M דטרמיניסטית עם זמן ריצה פולינומי. עבורה לכל x∈Σ^*, x∈A אםם M(x)∈SAT
35. נגדיר מכונה M̂ עם גישת אורקל ל-SAT.
36. על קלט x: 1. M̂ תחשב את M(x) ותכתוב אותו על סרט האורקל.
37. 2. M̂ תשאל את האורקל ותחזיר את התשובה שהתקבלה.
38. M̂ רצה בזמן פולינומי ומכריעה את A (למה?).