שיעור 12 — SubsetSum

תמלול

בחרו שורה כדי לסמן אותה בעמוד

1. שיעור 12
2. בעיית Subset-Sum
3. קלט: קבוצת מספרים a_1,...,a_n , מספר S. כל המספרים מיוצגים בבסיס 10.
4. [הערה] אם ייצוג אונרי, הבעיה ב-P.
5. שאלה: האם קיימת I⊆[n] כך ש-S = Σ_{i∈I} a_i .
6. טענה: Subset-Sum∈NP
7. [הערה] יש [לא ברור] עם סימון בחירת הקבוצה - שהיה צריך להיות שגודל [לא ברור].
8. [הערה] 1. אפשר לבחור אינדקסים, אחרת n log n
9. [הערה] 2. אפשר וקטור באורך n, ו-1 אם [לא ברור].
10. [הערה] עוד אופציה:
11. נגדיר מכונת טיורינג אי-דטרמיניסטית M באופן הבא: על קלט a_1,...,a_n, S: 1. אתחול: T=0.
12. 2. לכל i∈[n], המכונה תנחש באופן אי-דטרמיניסטי׳ אם [לא ברור] T←T+a_i
13. 3. אם T=S המכונה תקבל, ואחרת תדחה.
14. נסתכל גם באלגוריתם אחר (האם גם הקודם נכון!) , נעדיף לפרק את האי-דטרמיניזם למקום אחד:
15. נגדיר מכונת טיורינג אי-דטרמיניסטית M באופן הבא: על קלט a_1,...,a_n, S: 1. המכונה תכתוב באופן אי-דטרמיניסטי n סיביות.
16. האחרונות תייצג את הקבוצה I⊆[n].
17. 2. המכונה תחשב T=Σ_{i∈I} a_i
18. 3. אם T=S המכונה תקבל, ואחרת תדחה.
19. נתוח כאן ריצה: יהי a_1,...,a_n,S קלט ל-Subset-Sum.
20. בריצה של המכונה על הקלט, שלב 1 לוקח לכל היותר O(n) צעדים בכל תרחיש.
21. שלב 2 לוקח לכל היותר O(n) צעדים.
22. [הערה] (חיבור הוא O(1))
23. שלב 3 לוקח מס' צעדים קבוע.
24. סה"כ - O(n) צעדים
25. נתוח סמנטי: יהי <a_1,...,a_n,S> קלט ל-Subset-Sum.
26. נניח: <a_1,...,a_n,S> ∈ Subset-Sum. אזי קיימת I⊆[n] כך ש-S = Σ_{i∈I} a_i . אז קיים תסריט ריצה של המכונה על קלט <a_1,...,a_n,S> שבו המכונה כותבת את I
27. בשלב 1 ומקבלת.
28. נניח: <a_1,...,a_n,S> ∉ Subset-Sum. אז לכל I⊆[n], Σ_{i∈I} a_i ≠ S . לכן בכל תסריט ריצה, המכונה תדחה.
29. מכאן - Subset-Sum∈NP