שיעור 24 — סיכום + תרגילים

תמלול

בחרו שורה כדי לסמן אותה בעמוד

1. שיעור 24
2. טענה: DAG הוא NL-שלמה.
3. הוכחה: נבנה רדוקציה מ-St-CONN ל-D̄ĀḠ.
4. [הערה] על שכבות
5. רעיון הרדוקציה: בהינתן G=(V,E) מכוון ו-s,t∈V, הרדוקציה בונה גרף Ĝ=(V̂,Ê) מכוון באופן הבא:
6. V̂ = V × {1,2,...,|V|}
7. [הערה] כל קודקוד משוכפל |V| פעמים.
8. [הערה] הגרף הזה תמיד חסר מעגלים, כי הקשתות תמיד הולכות
9. Ê = {((v,i),(u,i+1)) | u=v או vu∈E}_{1≤i≤|V|-1} ∪ {((t,|V|),(s,1))}
10. [הערה] קשתות בין שכבות
11. [הערה] לקודקודים עם אינדקס גבוה יותר
12. טענה: לכל u,v∈V, יש מסלול ב-G מ-u ל-v אמ״ם יש מסלול ב-Ĝ מ-(u,1) ל-(v,|V|). (הגרף משמר את הקשירות)
13. מסקנה: StCONN ≤_L D̄ĀḠ
14. לכן-D̄ĀḠ הוא NL-שלמה.
15. לכן-DAG הוא coNL-שלמה.
16. מאימרמן, DAG הוא NL-שלמה.
17. נכונות הרדוקציה: יהי G=(V,E) גרף מכוון ויהיו s,t∈V.
18. נניח - (G,s,t)∈st-CONN: אז יש מסלול מ-s ל-t ב-G. לכן יש מסלול מ-(s,1) ל-(t,|V|) ב-Ĝ. המסלול הזה בתוספת הקשת:
19. ((s,1),(t,|V|)) הוא מעגל ב-Ĝ. לכן, Ĝ∈D̄ĀḠ.
20. נניח-Ĝ∈D̄ĀḠ: אז יש מעגל ב-Ĝ. המעגל חייב להכיל את הקשת ((s,1),(t,|V|)). לכן ב-Ĝ יש מסלול מ-(s,1) ל-(t,|V|). לכן ב-G יש
21. מסלול מ-s ל-t. לכן, (G,s,t)∈st-CONN.
22. הבנייה של Ĝ דורשת 2 לולאות כפולות, אחת לקודקודים ואחת לקשתות. כל מה שצריך לשמור ברגע נתון הוא אינדקס
23. 1≤i≤|V| ואינדקס j∈G (או קודקוד או קשת) סה״כ מקום - O(log|G,s,t|).